桃李的世界 · 惯性导航计算六十年

问题的提出：INS 计算作为 ODEPreface — INS computation as an ODE · INS Kinematics (e-frame)

捷联惯性导航（SINS）把陀螺与加速度计直接固联于载体，导航解算在数学上归结为：在离散采样条件下，求解地球坐标系（e 系）中姿态、速度、位置三组相互耦合的常微分方程——即 INS 运动学。陀螺测角速度、加速度计测比力、重力场提供重力；姿态决定比力的投影方向，速度由比力积分而来，位置由速度积分而来，姿态又需由角速度积分重建。报告以此作为整个历史叙事的起点：INS 计算本质上就是求解一组 ODE。

{Ċ_b^e = C_b^e(ω^b×) − (ω^e×)C_b^e

v̇^e = C_b^ef^b − 2ω^e×v^e + g^e

ṗ^e = v^e

INS 运动学（e 系）：ω^b 陀螺角速度 · f^b 比力 · g^e 重力

问题的关键：有限旋转的非交换性Preface — noncommutativity of finite rotations

姿态计算之所以棘手，根源是有限旋转的非交换性：三维空间中绕不同轴的两次有限转动不可交换，转动顺序改变，结果即改变；采样间隔内若直接累加角增量，就会引入不可交换的姿态误差。Laning（1949）首先刻画了这一现象，Bortz（1969）建立旋转向量微分方程——其中角速度一项可由陀螺直接测得，其余项必须靠算法计算。报告的核心命题：六十年的惯性导航计算史，就是一部以各种方式对抗非交换性误差的历史；每一次算法选择，都是对这类误差的一种应对策略。

φ̇ = ω + ½ φ×ω + A(φ) φ×(φ×ω) 旋转向量速率方程：ω 可测，后两项为必须计算的非交换项

A(φ) ≜ 1/φ² · [ 1 − φ·sinφ / ( 2(1 − cosφ) ) ] 非交换项系数（Laning 1949 · Bortz 1969）

四个十字路口（简单概括）Preface — Four crossroads in history & today

CR #1姿态表示之争（矩阵 vs 旋转向量 / 四元数） → 1969 年 Bortz / Jordan 的双速旋转向量结构成为经典。
CR #2简化旋转向量求解之争（圆锥最优 vs 直接积分） → Miller 1983 的圆锥最优准则成为主流，后受多方质疑。
CR #3一般 ODE 求解之争（Runge-Kutta / Taylor / Picard） → 计算机性能受限时，固定阶的 RK4 胜出。
CR #4算法结构之争（函数迭代与否） → Wu 2020 提出 iNavFilter，将非交换误差压至机器精度，结构之变尚在进行。

讲稿第 5 页“Preface — Four crossroads in history & today”原图

覆盖 CR 1–4 的时间轴与关键文献鱼骨图Fishbone: timeline & key references across the four crossroads

读法：脊柱自左（1956 SINS）向右（鱼头＝六十年对抗非交换性）；四条主骨＝四个十字路口，颜色区分；每条水平短枝＝一项关键文献（年份 · 作者 · 机构）。移动端可横向滚动查看。

鱼骨图文献的文字说明（据讲稿原文）

CR #1 · 姿态表示（矩阵 vs 旋转向量 / 四元数）

1962 Wiener · MIT论证捷联惯导（SINS）可行性，研究修正罗德里格斯向量 ODE 的解。
1966 Otten · NASA对四元数 ODE 作 Taylor 展开，得到“双速”形式。
1966 Savage · Honeywell对姿态矩阵 ODE（Ċ = C(ω×)）作 Picard 迭代，给出一阶、二阶解；称“二阶迭代已足够我们的用途”。
1968 Sullivan · NASA声称可通过“速率提取 + ODE 求解”消除非交换性。
1968 McKern · MIT给出姿态矩阵 ODE 的 Taylor 展开研究。
1969 Farrell · AIAA J.明确批驳“有限采样下交换误差无法用多项式重构消除”，Sullivan 的设想此后被惯导学界长期搁置。
1969 Jordan · NASA / Bortz · MIT建立基于近似旋转向量的经典双速方法（快速预处理 + 慢速解析解），奠定当前 INS 算法的基础。
1994 Ignagni · T-AES / 1997 Gusinsky · JGCD考察被早期近似忽略的高阶项并确认其重要性；Schmidt 随 Draper 团队在苏联解体后访俄，推动俄方融入国际导航制导共同体。

CR #2 · 圆锥最优 vs 直接积分（简化 RV 求解）

1983 Miller · DSTO（JGCD）提出圆锥最优准则——旋转向量近似为角增量线性组合加叉乘项，系数仅针对圆锥运动优化。
1990 Ignagni · Honeywell（JGCD）按该准则构建一族优化的姿态更新算法。
1995/97 Musoff · Gusinsky（JGCD）对“只针对圆锥运动最优”的判据提出疑问。
1998 / 2006 Savage · JGCD1998 年发表标志性总结论文；2006 年进一步建立“类 RV”导航计算统一框架（VTV η、PTV ζ）。
2009 Peng · NWPU指出经典圆锥补偿残差估计的局限。
2013 Song · NUDT（JGCD）机动条件下误差分析，暴露同一套系数在不同机动条件下精度不一致。

CR #3 · RK / Taylor / Picard（一般 ODE 求解）

1966 Savage · Honeywell姿态矩阵的 Picard 迭代。
1966–68 Sullivan · NASA姿态矩阵的 Runge-Kutta 解法。
1966 Otten · NASA四元数 Taylor 展开。
1968 McKern · MITDCM（姿态矩阵）Taylor 展开。
1969 Bortz · MIT / Jordan · NASA旋转向量的 RK 解与姿态矩阵 Taylor 展开。
1970 Boland · NASA四元数的 Peano-Baker 逐次逼近。
1973 Branets · 苏联旋转向量 Taylor 展开与四元数 Peano-Baker 逼近。
1980 Miller · DSTO四元数 RK 解、旋转向量与四元数 Taylor 展开。数值比较（ω = a + bt）：RK4 ≈ t⁴；Taylor ≈ t^j；直接迭代 / Picard ≈ t^j+1（j 为奇数）或 t^j（j 为偶数）。

CR #4 · 函数迭代与否（算法结构变革）

1963 Clenshaw & Norton · NPL UK（Computer Journal）发明 Picard-Chebyshev 方法求解一般非线性 ODE。
1966–68 Sullivan · NASA消除非交换性的设想（后被 Farrell 批驳）。
2017–20 Wu · SJTU（T-AES）提出函数迭代——在连续空间中重构 INS 运动（Chebyshev 多项式近似），统一求解 Rodrigues / 四元数 / RV / DCM 与完整惯性运动学，把非交换误差压到机器精度。位置误差由主流算法约 1200 m/h 降至约 4 μm/h，SINS 采样频率或可降低约 10 倍（RodFilter 2018、iNavFilter 2020，专利 US11959748）。
2020 Wu & Litmanovich · GN（SJTU / Electropribor）与 Taylor 展开对比——Taylor 展开精度高但在高动态下不稳定，函数迭代更稳。
2020 / 21 / 25 Ignagni · Honeywell（JGCD）指出现代算法的精度缺陷；提出“传统推导的捷联算法能否满足 21 世纪需求、是否需根本结构变革”两问。
2025 Jiang & Wu · T-AESiNavFilter-M 矩阵化表述；Wu 相关专利 US11959724（2024）。